负整数的二进制表示(补码表示)

1. 原码
2. 反码
3. 补码 ⭐（现代计算机标准）
4. 补码的优势
5. 快速识别补码表示的负数
6. C/C++ 中的验证代码
- Demo1
- Demo2
7. 重要总结

负整数的二进制表示是理解计算机如何存储和处理负数的基石。主要有三种表示方法，其中最常用的是补码。

1. 原码

规则：最高位表示符号位（0为正，1为负），其余位表示数值的绝对值。

示例（8位表示）：

1 2	+5: 0000 0101 -5: 1000 0101

问题：

有 +0 (0000 0000) 和 -0 (1000 0000) 两种零
加减运算复杂，需要判断符号位

2. 反码

规则：

正数：与原码相同
负数：符号位为1，数值位按位取反

示例（8位表示）：

1 2	+5: 0000 0101 -5: 1111 1010 （5的原码 0000 0101 取反）

问题：

仍然存在 +0 (0000 0000) 和 -0 (1111 1111)
运算仍不够方便

3. 补码 ⭐（现代计算机标准）

这是现代计算机普遍使用的方法。

3.1. 补码的规则

对于正数：与原码相同

1	+5: 0000 0101

对于负数：有两种计算方法：

方法一：取反加一

写出对应正数的二进制
按位取反（0变1，1变0）
结果加1

方法二：用 2ⁿ 减去绝对值

1	负数的补码 = 2ⁿ - \|负数\|

其中 n 是位数（8位、16位、32位、64位）

3.2. 示例：求 -5 的 8位补码

方法一：取反加一

1
2
3

+5:     0000 0101
取反:    1111 1010
加1:     1111 1011  ← -5的补码

方法二：公式计算

1 2	2⁸ - 5 = 256 - 5 = 251 251的二进制: 1111 1011

验证：1111 1011 就是 -5 的补码表示。

3.3. 更多例子（8位表示）

十进制	二进制（补码）	计算过程
+7	`0000 0111`	直接表示
+1	`0000 0001`	直接表示
0	`0000 0000`	直接表示
-1	`1111 1111`	0000 0001 → 1111 1110 → 1111 1111
-2	`1111 1110`	0000 0010 → 1111 1101 → 1111 1110
-5	`1111 1011`	0000 0101 → 1111 1010 → 1111 1011
-128	`1000 0000`	特殊值（8位最小负数）

4. 补码的优势

补码成为标准的原因：

4.1. 优势1：统一的加减法

减法可以转换为加法：

1	10 - 5 = 10 + (-5)

在8位系统中：

1
2
3

10:     0000 1010
-5:     1111 1011
相加:  1 0000 0101 = 5  ✓ （忽略进位）

4.2. 优势2：唯一的零

只有 0000 0000 表示零，没有负零。

4.3. 优势3：自然的溢出行为

1
2
3

// 8位有符号整数的溢出
127 + 1 = -128  // 0111 1111 + 1 = 1000 0000
-128 - 1 = 127  // 1000 0000 - 1 = 0111 1111

4.4. 优势4：范围对称且连续

对于 n 位有符号整数：

范围：-2^(n-1) 到 2^(n-1)-1
8位：-128 到 127
16位：-32768 到 32767
32位：-2147483648 到 2147483647

5. 快速识别补码表示的负数

规则：最高位为1的数就是负数。

快速计算负数值：看到补码表示的负数，想要知道它的十进制值：

减1
取反
得到正数值，加上负号

示例：

看到: 1111 1011  （这是-5的补码）
减1:  1111 1010
取反:  0000 0101 = 5
结果: -5

6. C/C++ 中的验证代码

Demo1

#include <iostream>
#include <bitset>
using namespace std;

void print_binary_details(int num) {
    cout << "十进制: " << num << endl;
    cout << "二进制: " << bitset<8>(num) << endl;
    cout << "十六进制: 0x" << hex << (num & 0xFF) << dec << endl;
    cout << "---" << endl;
}

int main() {
    // 测试正数和负数
    print_binary_details(5);
    print_binary_details(-5);
    print_binary_details(0);
    print_binary_details(-1);
    print_binary_details(127);
    print_binary_details(-128);
    
    // 验证补码的加法特性
    cout << "验证 10 + (-5) = 5:" << endl;
    int a = 10, b = -5;
    int result = a + b;
    cout << a << " + " << b << " = " << result << endl;
    cout << "10的二进制: " << bitset<8>(a) << endl;
    cout << "-5的二进制: " << bitset<8>(b) << endl;
    cout << "结果的二进制: " << bitset<8>(result) << endl;
    
    return 0;
}

输出示例：

十进制: 5
二进制: 00000101
十六进制: 0x5
---
十进制: -5
二进制: 11111011
十六进制: 0xfb
---
十进制: 0
二进制: 00000000
十六进制: 0x0
---
十进制: -1
二进制: 11111111
十六进制: 0xff
---

Demo2

#include <bitset>
#include <cstdint>
#include <iostream>

int main()
{
    int8_t a = 127;
    std::cout << "a: " << (int)a << ", bit:" << std::bitset<8>(a) << std::endl;
    int8_t b = -127;
    std::cout << "b: " << (int)b << ", bit:" << std::bitset<8>(b) << std::endl;
    int8_t c = a + 1;
    std::cout << "c: " << (int)c << ", bit:" << std::bitset<8>(c) << std::endl;
    c >>= 2;
    std::cout << "c: " << (int)c << ", bit:" << std::bitset<8>(c) << std::endl;
    int8_t d = -5;
    std::cout << "d: " << (int)d << ", bit:" << std::bitset<8>(d) << std::endl;
    d <<= 2;
    std::cout << "d: " << (int)d << ", bit:" << std::bitset<8>(d) << std::endl;
    int8_t e = -1;
    std::cout << "e: " << (int)e << ", bit:" << std::bitset<8>(e) << std::endl;
    e >>= 2;
    std::cout << "e: " << (int)e << ", bit:" << std::bitset<8>(e) << std::endl;

    return 0;
}

输出示例：

a: 127, bit:01111111
b: -127, bit:10000001
c: -128, bit:10000000
c: -32, bit:11100000
d: -5, bit:11111011
d: -20, bit:11101100
e: -1, bit:11111111
e: -1, bit:11111111